量子力学
普物的最后一舞，加油！💪
The nature of light(光的本质)
黑体辐射
黑体辐射是指一种理想化的物体（称为黑体）在热平衡状态下发出的电磁辐射。黑体能够吸收所有入射的电磁辐射，而不反射或透射任何辐射
普朗克辐射定律
\[
R(\lambda, T) = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}
\]
\( h = 6.63 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s} \)
常见的的表达有普朗克常数\(h\) 和 约化普朗克常数\(\hbar = \frac{h}{2\pi}\)
光子的性质
光具有波粒二象性，光子具有能量和动量。
-
波： \(\bold{E}=E_m \cos(kx-\omega t)\),或者\(\bold{E}=E_e e^{i(kx-\omega t)}\)
- \(k\) 波数，\(k = \frac{2\pi}{\lambda}\)
- \(\omega\) 角频率，\(\omega = \frac{2\pi}{T}\)
- \(T\) 周期，\(T = \frac{1}{f}\)
- \(f\) 频率，\(f = \frac{\omega}{2\pi}\)
-
粒子： \(E=h\nu=h\dfrac{\omega}{2\pi}=\hbar\omega\),同时能量和动量满足关系\(E=mc^2=pc\)
- 动量\(p=\dfrac{E}{c}=\dfrac{h\nu}{c}=\dfrac{h \nu}{\nu \lambda}=\dfrac{h}{\lambda}=\dfrac{h}{\frac{2\pi}{k}}=\dfrac{h}{2\pi}k=\hbar k\)
光电效应
光电效应是指当光照射到某种材料（通常是金属）表面时，会导致材料表面释放出电子的现象。这一效应是由爱因斯坦在1905年解释的，他提出光子具有粒子性质，并且每个光子的能量与其频率成正比。光电效应的关键特征包括：
-
阈值频率：只有当入射光的频率高于某个特定值（阈值频率）时，才会发生光电效应。这是因为光子的能量必须大于材料中电子的逸出功（即将电子从材料中释放所需的最小能量）。
-
光子能量与电子动能：入射光子的能量一部分用于克服材料的逸出功，剩余的能量转化为电子的动能。公式为：
\[
E_{\text{光子}} = h\nu = W + \frac{1}{2}mv^2
\]
其中，\( h \) 是普朗克常数，\( \nu \) 是光的频率，\( W \) 是逸出功，\( m \) 是电子的质量，\( v \) 是电子的速度。
- 光强度与电子数量：增加入射光的强度（即光子数量）会增加释放的电子数量，但不会影响电子的最大动能。
光电效应的发现和解释为量子力学的发展奠定了基础，并且为光的粒子性提供了重要的证据。
Matter Wave(物质波)
🐅:神人德布罗意
物质波是德布罗意在1924年提出的一个概念，他认为任何物质都具有波动性，但是在提出这一概念之前，他并没有系统的学过物理；
对于宏观世界速度为\(v\),质量为\(m\)的粒子
- 动量\(p=mv\)
- 动能\(E_k=\frac{1}{2}mv^2\)
其波性质为
- \(E = h\nu=\hbar\omega\)
- \(p = h/\lambda=\hbar k\)
其波长为
- \(\lambda = \dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{mv}=\dfrac{h}{\sqrt{2mE_k}}\)
其满足这样一个波函数
\[
\Psi=\psi(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}=Ae^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)}
\]
波函数的物理解释
物质波是一种概率波
The product \(\Psi^*\Psi\) gives the probability that the particle in question will be found between positions \(x\) and \(x+dx\).
即
波函数的平方模 \(\Psi^*\Psi\) 表示粒子在位置 \(x\) 到 \(x+dx\) 之间被找到的概率。
公式为：
\[
\text{Probability} = \Psi^*\Psi \, dx
\]
其中，\(\Psi^*\) 是波函数的复共轭，\(dx\) 是位置的微小变化量。
将几率密度定义为
\[
P(x) = \Psi^*\Psi
\]
若要求粒子在\(x_1\)到\(x_2\)之间被找到的概率，则
\[
P(x_1,x_2) = \int_{x_1}^{x_2} P(x) \, dx
\]
同时其满足归一化
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^*\Psi \, dx = 1
\]
对于自由粒子而言
\[
P(x) = \left[ \psi_0 e^{i(kx - \omega t)} \right] \left[ \psi_0^* e^{-i(kx - \omega t)} \right] = |\psi_0|^2
\]
是一个很小的常量
算符定义
期望算符
一个粒子的期望位置
\[
\bar{x} = \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} x \Psi^* \Psi \, dx}{\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \Psi \, dx} = \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* x \Psi \, dx}{\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \Psi \, dx} = \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* x \Psi \, dx = \langle \psi | x | \psi \rangle = \langle |x|\rangle,
\]
两个角代表被\(\Psi^*\) 和 \(\Psi\) 夹住做积分
如果求其它量例如势能的期望值也是类似的,例如\(\langle \psi |U(x)|\psi \rangle\)
动量算符(momentum operator)
对于\(\Psi = \psi_0 e^{i(kx-\omega t)}\)
对 \(x\) 求导数
\[
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = ik\psi_0 e^{i(kx-\omega t)}
\]
\[
-i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial x} = (-i\hbar) ik \psi_0 e^{i(kx-\omega t)} = \hbar k \psi_0 e^{i(kx-\omega t)}
\]
而\(\hbar k\) 就是动量\(p\)
所以
\[
-i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial x} = p \Psi
\]
动量算符为 $ p= -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$
用动量算符求动量
\[
\begin{align*}
\therefore \bar{p} &= \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \Psi \, dx \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \psi_0 e^{i(kx-\omega t)} \, dx \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* (-i\hbar) ik \psi_0 e^{i(kx-\omega t)} \, dx \\
&= \hbar k \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \psi_0 e^{i(kx-\omega t)} \, dx \\
&= \hbar k \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \Psi \, dx \\
&= \hbar k
\end{align*}
\]
能量算符(Energy operator)
\[
\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -i\omega \psi_0 e^{i(kx-\omega t)}
\]
\[
i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = (i\hbar)(-i\omega)\psi_0 e^{i(kx-\omega t)} = \hbar \omega \psi_0 e^{i(kx-\omega t)} = E\Psi
\]
能量算符为 \(E = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\)
用能量算符求能量
\[
\begin{align*}
\therefore \bar{E} &= \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \left( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \right) \Psi \, dx \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \left( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \right) \psi_0 e^{i(kx-\omega t)} \, dx \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* (i\hbar)(-i\omega) \psi_0 e^{i(kx-\omega t)} \, dx \\
&= \hbar \omega \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \psi_0 e^{i(kx-\omega t)} \, dx \\
&= \hbar \omega \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \Psi \, dx \\
&= \hbar \omega
\end{align*}
\]
薛定谔方程
对于一个粒子的总能量，有势能和动能
\[
E = U + \frac{p^2}{2m}
\]
两边同时乘以波函数\(\Psi\)
\[
E\Psi = U\Psi + \frac{p^2}{2m}\Psi
\]
将\(E\) 和 \(p\) 用算符表示
\[
E\Psi = \frac{p^2}{2m} \Psi + U\Psi
\]
\[
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = \frac{1}{2m} (-i\hbar \frac{\partial}{\partial x})(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}) \Psi + U\Psi
\]
\[
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi + U\Psi
\]
称其为一维含时薛定谔方程
简写为
\[
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = \hat{H} \Psi
\]
其中\(\hat{H}\) 为哈密顿算符,也是能量算符
- 一维 \(\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + U(x,t)\)
- 三维 \(\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + U(x,y,z,t)\)
定态薛定谔方程
如果说势能\(U\) 不随时间变化，则波函数可以写成
\[
\Psi(x,t) = \psi(x) e^{-i\omega t} = \psi e^{-i\omega t}
\]
\[
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi + U\Psi
\]
\[
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} (\psi e^{-i\omega t}) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} (\psi e^{-i\omega t}) + U\psi e^{-i\omega t}
\]
\[
(-i\omega) i\hbar \psi e^{-i\omega t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} e^{-i\omega t} + U\psi e^{-i\omega t}
\]
含\(t\)的项消去，得到
\[
\hbar \omega \psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + U\psi
\]
再运用\(E = \hbar \omega\)
\[
E\psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + U\psi(x)
\]
称其为一维定态薛定谔方程
可以化为
\[
\frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar^2}(E - U)\psi(x) = 0
\]
其它定义
虎哥只提了一下，那我也只记一下
势垒隧道是指在量子力学中，粒子能够穿过势垒（势能）的量子效应。势垒隧道效应是量子力学中的一个基本现象，它描述了粒子在势垒（通常是势能）的阻挡下仍然能够穿透的现象。
- 测不准原理（Uncertainty principle）
测不准原理是指在量子力学中，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。这意味着，如果我们试图精确测量粒子的位置，那么它的动量就会变得不确定，反之亦然。
\[
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
\]
同样能量和时间也有这样的关系
\[
\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}
\]